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【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)
河北成人高考信息网 www.hbcrgk.cn    发布时间: 2018年04月16日
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一元函数积分学知识点睛(定积分)

知识结构:

【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分) 

必备基础知识

定积分的定义:【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)上有界——理解即可

1)大化小(把大曲边梯形分为n个小曲边梯形):,在【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)中任意插入若干个分点:【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)

把区间【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)分割成n个小区间【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分),【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分),【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分),

各小区间的长度依次为【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分).

2)常代变(用小矩形近似的代替每一个小曲边梯形):在每个小区间【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)上任取一点【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)作函数值【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)与小区间长度【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)的乘积【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分),

3)近似和(n个小矩形的面积之和近似的等于大曲边梯形的面积):作和式【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)

4)取极限(无限细分,得到大曲边梯形的面积):【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)如果不论对【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)怎样的分法,也不论在小区间【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)上点【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)怎样取法,只要当【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分),和【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)总趋于确定的极限I,我们就称这个极限I为函数【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)在区间【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)上的定积分,记为

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其中【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)叫做被积函数,【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)叫做被积表达式,x叫做积分变量,【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)叫做积分区间.

定积分的几何意义:——理解即可

在区间[a,b]上,f(x)³0时,积分【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)在几何上表示由曲线y=f(x)、两条直线x=ax=bx轴所围成的曲边梯形的面积;f(x)£0时,由曲线y=f(x)、两条直线x=ax=bx轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;

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定积分的性质——红色部分要掌握

两点规定:

(1)当a=b,【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分).

(2)当a>b,【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分).

性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即

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性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即:【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分).

性质 3  如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即:【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分).

性质4如果在区间[ab]上f(x)º1则:【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分).

性质5如果在区间[a, b]上f(x)³0,则:【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)(a<b).

推论1如果在区间[a, b]上f(x)£g(x)则:【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)(a<b).

推论2【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)(a<b).

性质6设Mm分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最小值,

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性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,则在积分区间[a, b]上至少存在一个点,使下式成立:【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分).

积分上限函数

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且设x[a,b]上的一点. 我们把函数f(x)在部分区间[a,x]上的定积分【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)称为积分上限的函数.它是区间[a,b]上的函数,记为:F(x)【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分),F(x)=【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分).

积分上限函数的导数

定理如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数F(x)【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)[a,b]上具有导数,并且它的导数为:

F¢(x)【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)(a£x<b).

牛顿--莱布尼茨公式

定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,

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此公式称为牛顿--莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式.

无穷区间上的广义积分的概念

1)函数【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)在无穷区间[a,+¥)上的广义积分的定义:

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在广义积分的定义式中,如果极限存在,则称此广义积分收敛;  否则称此广义积分发散.

2)函数【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)在无穷区间(-¥,b]上的广义积分的定义:

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3)函数【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)在无穷区间(-¥,+¥)上的广义积分的定义:

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主要考察知识点和典型例题:

考点一:变上限积分求导

变上限积分主要考查它的求导性质,考试时遇到变上限积分的问题都要进行求导,主要的考查题型是:直接给一个变限积分,进行求导;定积分求导;含有变限积分的极限问题。

典型例题【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分).

根据变上限积分的求导公式,变上限积分求导就等于被积函数:

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典型例题【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)

解:解此题需要注意【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)不是积分上限函数,而是常数,所以【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)0。

典型例题【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分).(分析:这是【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)型不定式,应用洛必达法则.)

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考点二:利用莱布尼兹公式直接计算

根据牛—莱公式【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分),计算定积分就是计算不定积分,区别在于不定积分加常数C,定积分加积分区间【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分),定积分的计算方法和不定积分的计算方法没有什么区别,只需要注意积分限的变化。

典型例题【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)

解由于arctanx【河北成考】专升本数学1--一元函数积分学知识点睛(定积分)的一个原函数,所以

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