【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点
考点三:函数的极值——重点 函数的极值包括极大值和极小值,是一个局部概念,一个函数可能有多个极大值和极小值。求函数的极值有两种方法:第一充分条件—— 一阶导数法和第二充分条件—— 二阶导数法。主要考查:求函数的极值点和极值。 1、第一充分条件—— 一阶导数法步骤 (2) 求可能的极值点:求其导数,解方程求出的全部驻点与不可导点; (3) 讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况,确定函数的极值点; 解 (3)列表讨论如下: + 0 - 0 + ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 【注】 (2)一阶导数法求极值就是利用单调性来判别极值,其步骤和判别单调性相似。 2、第二种充分条件——二阶导数法 第二充分条件其实就是利用二阶导数求函数的极值,可利用函数的凸凹性记忆。 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f ¢(x0)=0, f ¢¢(x0)¹0, 那么 (1) 当f ¢¢(x0)<0时, 函数f(x)在x0处取得极大值; (2) 当f ¢¢(x0)>0时, 函数f(x)在x0处取得极小值; 【注】时, 在点 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断. 考点四:函数的最大值和最小值(重点) 函数的最值是常考的知识点,主要包括:函数在给定闭区间上最大值和最小值的求法、实际问题中的最值问题。 1、函数在给定闭区间上最大值和最小值的求法: 计算函数在一切可能极值点的函数值,并将它们与相比较,这些值中最大的就是最大值,最小的就是最小值; (函数的最大值在极值点和端点取得) 2、实际问题中的最值问题 典型例题:设抛物线与轴的交点为,在他们所围成的平面区域内,以线段为下底做内接等腰梯形,设梯形的上底长为,面积为。 解: 考点五:曲线的凹凸性的判别(凹凸区间和拐点) 确定曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤: (3) 对步骤(2)中求出的每一个点,检查其邻近左、右两侧的符号,确定曲线的凹凸区间和拐点. 典型例题:求曲线y=3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间. 解: (1)函数y=3x 4-4x 3+1的定义域为(-¥, +¥); (4)列表判断: 在区间(-¥, 0]和[2/3, +¥)上曲线是凹的, 在区间[0, 2/3]上曲线是凸的. 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点. 因为当时, y¢¢>0; 当时, y¢¢<0, 所以点(0,-1)是曲线的拐点. 考点六:求曲线的渐近线(作为了解即可) 在某个变化过程中曲线逐渐靠近担永远不可能达到的那条直线。 1、水平渐近线: