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【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点
河北成人高考信息网 www.hbcrgk.cn    发布时间: 2018年04月19日
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考点三:函数的极值——重点

函数的极值包括极大值和极小值,是一个局部概念,一个函数可能有多个极大值和极小值。求函数的极值有两种方法:第一充分条件—— 一阶导数法和第二充分条件—— 二阶导数法。主要考查:求函数的极值点和极值。

1、第一充分条件—— 一阶导数法步骤

(1) 确定函数【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点的定义域;

(2) 求可能的极值点:求其导数【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点,解方程【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点求出【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点的全部驻点与不可导点;

(3) 讨论【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况,确定函数的极值点;

(4) 求出各极值点的函数值,就得到函数【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点的全部极值.

典型例题:求出函数【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点的极值.

 

1)【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

2)【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点,【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点得驻点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

3)列表讨论如下:

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0

0

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极大值

极小值

4)所以, 极大值【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点极小值【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

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【注】

1)函数可能的极值点为驻点和不可导点(【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点不存在的点)。

2)一阶导数法求极值就是利用单调性来判别极值,其步骤和判别单调性相似。

2、第二种充分条件——二阶导数法

第二充分条件其实就是利用二阶导数求函数的极值,可利用函数的凸凹性记忆。

设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f ¢(x0)=0, f ¢¢(x0)¹0, 那么

(1) 当f ¢¢(x0)<0时, 函数f(x)在x0处取得极大值; 

(2) 当f ¢¢(x0)>0时, 函数f(x)在x0处取得极小值; 

典型例题:求出函数【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点的极值.

  【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点得驻点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点故极大值【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

故极小值【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

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【注】【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点, 【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点在点 【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断.

【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点 函数的不可导点, 也可能是函数的极值点.

 

考点四:函数的最大值和最小值(重点)

函数的最值是常考的知识点,主要包括:函数在给定闭区间上最大值和最小值的求法、实际问题中的最值问题。

1、函数在给定闭区间上最大值和最小值的求法: 

计算函数【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点在一切可能极值点的函数值,并将它们与【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点相比较,这些值中最大的就是最大值,最小的就是最小值;

(函数的最大值在极值点和端点取得)

典型例题:【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点上的最大值与最小值.

  【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点  解方程【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

计算【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点 

比较得最大值【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点 最小值【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

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2、实际问题中的最值问题

典型例题:设抛物线【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点轴的交点为【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点,在他们所围成的平面区域内,以线段【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点为下底做内接等腰梯形【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点,设梯形的上底【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点长为【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点,面积为【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

a)写出【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点的表达式;

b)求【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点的最大值。

解:

1)先求交点,由【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点,解得【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点,所以交点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点的坐标分别为【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点,所以:

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2)【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点,得到【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点(舍去);

由所给问题得实际意义知: 【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点时,【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点达到最大,最大值【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

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考点五:曲线的凹凸性的判别(凹凸区间和拐点)

确定曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤: 

(1) 求函数的二阶导数【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

(2) 令【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点,解出全部实根,并求出所有使二阶导数不存在的点;

(3) 对步骤(2)中求出的每一个点,检查其邻近左、右两侧【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点的符号,确定曲线的凹凸区间和拐点.

典型例题:求曲线y=3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间. 

: 

(1)函数y=3x 4-4x 3+1的定义域为(-¥, +¥); 

(2)【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点,【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点; 

(3)解方程y¢¢=0, 【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点, 【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点; 

(4)列表判断: 

【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点 

在区间(-¥, 0]和[2/3, +¥)上曲线是凹的, 在区间[0, 2/3]上曲线是凸的. (0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点. 

往年真题:曲线【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点的拐点坐标为_______。

解:【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

y¢¢=0, 【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点.

因为当【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点, y¢¢>0; 【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点, y¢¢<0, 所以点(0,1)是曲线的拐点.

 

考点六:求曲线的渐近线(作为了解即可)

在某个变化过程中曲线逐渐靠近担永远不可能达到的那条直线。

1、水平渐近线:

【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点,则直线【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点为水平渐近线

例:【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

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铅直渐近线:(其实就是分母为零而分子不为零的点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点,则直线【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点为铅直渐近线

【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点 

、求【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点 渐近线

解:【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点       ∴ 【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点为水平渐近线

【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点       ∴ 【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点垂直渐近线。(【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点时分母为零而分子不为零)

 求函数【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点的渐近线.

 【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点 得水平渐近线【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点

【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点 得铅直渐近线【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点【河北成考专升本】数学1--函数的极值——重点时分母为零而分子不为零)


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