【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)

河南成人高考网www.hncrgk.com.cn 发布时间: 2018年04月20日

知识结构:

【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)

【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)

必备基础知识

【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)型与【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)未定式

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函数的单调性的判别定理

设函数【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)[a, b]上连续, 在(a, b)内可导.

(1) 若在(a, b)内【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用), 则函数【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)[a, b]上单调增加;

(2) 若在(a, b)内【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用), 则函数【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)[a, b]上单调减少.

极值定义  

设函数f(x)在区间(a, b)内有定义, x0Î(a, b). 如果在x0的某一去心邻域内有f(x)<f(x0), 则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值; 如果在x0的某一去心邻域内有f(x)>f(x0), 则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值.

函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 

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最值定义  

设函数f(x)在区间【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)上有定义,对【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用),如果在【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)恒有f(x)<f(x0), 则称f(x0)是函数 f(x)的一个最大值; 如果在在【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)恒有f(x)>f(x0), 则称f(x0)是函数f(x)的一个最小值.

凹凸性的定义

f(x)在区间I上连续, 如果对I上任意两点x 1, x 2, 恒有

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那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有

【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用), 

那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 

 

主要考察知识点和典型例题:

考点一:运用洛必达法则求极限:

洛必达法则是一种求极限的非常有效的方法,主要用来求解【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)的未定式的极限,以及可以转化为【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)的未定式0×¥ ¥-¥的极限。近年考察较为简单,主要是考查:直接用洛必达法则【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)的未定式的极限。

要求:

1)拿到一个极限题首先就要代入,看是不是未定式,是那种类型的未定式。

2)如果是未定式,则可以考虑洛必达法则

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往年真题: 【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用).【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)

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【注】

1)有时一次洛必达法则不能得到极限值,而是得到一个未定式,则可以用多次。

2)对于【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)型,可利用通分化为【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)型的未定式来计算.

3)对于【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)型,可将乘积化为除的形式,即化为【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)型的未定式来计算.

4)洛必达法则可以和其他求极限方法,尤其是等价代换,混合在一起来用。

典型例题: 【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)

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考点二:函数单调性的判别(单调区间和驻点)

函数的单调性是一种非常重要的特性,利用导数判别单调性是一种快捷有效的手段,本部分内容主要考查:求函数的单调区间以及函数的驻点、利用单调性证明不等式。

1、求函数的单调区间以及函数的驻点

步骤:

1)确定函数的定义域;

2)求单调增加和单调减少的可能的分界点:导数为零的点(驻点)和导数不存在的点,即:【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)的点和【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)不存在的点。

3)利用上述点去划分定义域,然后在每一个小区间上验证一阶导数的符号,从而确定函数的单调性。

要求:

1)理解单调性、单调区间和驻点的概念;

2)掌握判别单调性的方法——一阶导数法。

典型例题:确定函数【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)的单调区间.

  

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ⅰ: 【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)驻点【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)不存在的点,没有。

3)

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驻点

驻点

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往年真题:函数【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)的单调增加区间是____________.

 因为:【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用),要想使【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)单调增加,需使:

【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)>0,即:【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用),所以函数【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)的单调增加区间是

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【注】(1)可能的分界点包括驻点和不可导点。  

2、利用单调性证明不等式

思路:见到不等式的证明题,一般就是和单调性有关,其关键是构造一个函数,证明其在某个区间上单调增或单调减即可。

典型例题:【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)时, 试证【河北成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)成立.

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